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五、二叉树的建立

其实而二叉树的建立就是二叉树的遍历，只不过将输入内容改为建立结点而已，比如，利用前序遍历建立二叉树

        a. 访问结点p，并将结点p入栈；

       a. 若其左孩子不为空，，则将p入栈，并将p的左孩子设置为当前的p，然后对当前结点再进行相同的操作；

     要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问，因此对于任一结点p，先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子，则可以直接访问它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了，则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况，则将p的右孩子和左孩子依次入栈，这样就保证了每次取栈顶元素的时候，左孩子在右孩子之前别访问，左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。

根据下图加深理解，什么时候是完全二叉树。

所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。就是完美圆满的意思，关键在于树的平衡。

图中前序遍历结果是：1，2，4，5，7，8，3，6。

根据满二叉树的定义，得到其特点为：

//前序递归遍历 void PreOrderTraverse(BiTree t) { //注意跳出条件 if(t != NULL) { //注意访问语句顺序 printf("%c ", t->data); PreOrderTraverse(t->lchild); PreOrderTraverse(t->rchild); } }

后序递归遍历代码实现，如下所示。

//后序递归遍历 void PostOrderTraverse(BiTree t) { if(t != NULL) { PostOrderTraverse(t->lchild); PostOrderTraverse(t->rchild); printf("%c ", t->data); } }

叶子结点只能出现在最下一层（满二叉树继承而来）

中序遍历迭代代码

    1.如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整

基本思想：先访问根结点，再先序遍历左子树，最后再先序遍历右子树即根—左—右。

满二叉树是完全二叉树，对于深度为k的满二叉树中结点数量是2k-1 = n，完全二叉树结点数量肯定最多2k-1,同时完全二叉树倒数第二层肯定是满的（倒数第一层有结点，那么倒是第二层序号和满二叉树相同），所以完全二叉树的结点数最少大于少一层的满二叉树，为2k-1-1。

       b. 若其左孩子为空，则取栈顶元素并进行出栈操作，访问该栈顶结点，然后将当前的p置为栈顶结点的右孩子；

//前序非递归遍历 int NoPreOrderTraverse(BiTree t) { SqStack s; InitStack(&s); BiTree tmp = t; if(tmp == NULL) { fprintf(stdout, "the tree is null.\n"); return ERROR; } //现将左子树压入栈，当到叶子结点后，出栈，获取右子树，然后在压入右子树的左子树。 //顺序不能变 while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1)) { while(tmp != NULL) { Push(&s, tmp); printf("%c ", tmp->data); tmp = tmp->lchild; } if(IsEmpty(&s) != 1) { Pop(&s, &tmp); tmp = tmp->rchild; } } return OK; }

结点5，2*5+1>10,没有右孩子，结点4，则有右孩子。

在上图中验证

第一条：

       对于任一结点：

图中后序遍历结果是：4，8，7，5，2，6，3，1。

在一棵二叉树中，除了叶子结点（度为0）之外，就剩下度为2(n2)和1(n1)的结点了。则树的结点总数为T = n0+n1+n2;在二叉树中结点总数为T，而连线数为T-1.所以有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最后得到n0 = n2+1;

上图中结点总数是10，n2为4，n1为1，n0为5。

对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。

3、对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n0，度数为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1

       c. 直到p为空并且栈为空，则遍历结束。

二叉树遍历：从树的根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问仅且一次。

在上图中，树1，按层次编号5结点没有左子树，有右子树，10结点缺失。树2由于3结点没有字数，是的6,7位置空挡了。树3中结点5没有子树。

    根据中序遍历的顺序，对于任一结点，优先访问其左孩子，而左孩子结点又可以看做一个根结点，然后继续访问其左孩子结点，直到遇到左孩子结点为空的结点才停止访问，然后按相同的规则访问其右子树。其处理过程如下：

叶子只能出现在最下一层。

    3.如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1

1、在非空二叉树的i层上，至多有2i-1个节点(i>=1)。通过归纳法论证。

最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。

基本思想：先中序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树即左—根—右。

在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

b、如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有

对于任一结点p：

当i=1时，为根节点。当i>1时，比如结点为7，他的双亲就是7/2= 3；结点9双亲为4.

结合完全二叉树定义得到其特点：

第三条：

倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。

结点6,6*2 = 12>10，所以结点6无左孩子，是叶子结点。结点5，5*2 = 10，左孩子是10,结点4，为8.

a、具有n的结点的完全二叉树的深度为log2n+1.

所有的结点都只有左子树（左斜树），或者只有右子树（右斜树）。这就是斜树，应用较少

a/前序递归遍历的代码实现，如下所示

二叉树是树的特殊一种，具有如下特点：1、每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为2。2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。

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